趣味几何 | 三角形中的角格点问题
定义:如果三角形的三个角的度数都是10°的整数倍,三角形内一点与三角形的三个顶点分别联结后,得到的所有的角也都具有这个性质,我们称这样的点为三角形中的角格点.
一题多解|再看构造等边三角形的妙用
一题多解|5种辅助线求解等腰三角形角度
之前写过两篇解题的方法,其实本质上就是三角形的角格点问题,今天我们深入的来研究一下角格点问题。
由于三角形的三个内角之和为180°,要使其中存在角格点,必要条件是每个角的度数都局限在20°30°,40°…,140°这13个度数之内,而不能是10°、150°、160°或170°,这是因为若有一个角是10°,则其中没有角格点;若存在两个角都不小于20则第三个角不大于140°。三个角都是10°整数倍的三角形共有27种(即 A B C=18,A≥B≥C的正整数解),其中8种包含10°角的,肯定没有角格点,故可能存在角格点的三角形有19种,即三内角α,β,γ满足α≤β≤y时有下表:
辅助线做法:构造等边三角形。我们通过一道题的角度变化来看一般性的辅助线做法。
1、在△ABC中,∠ABC=30°,∠ACB=20°,P为三角形内一点,∠PBC=20°,∠PCB=10°,求∠PAB的度数.
辅助线:以PB为边向外作等边△PDB。
结合以上角度计算,我们可以得到点B与点D关于直线PC对称。
连接DC,根据对称的性质,我们可以得到:∠CDP=∠CBP=20°,则∠BDA=80°;在△DBA中,∠DAB=50°;又因为∠BAC=130°,则D、A、C三点共线;
我们又可求得:DB=DA=DP,所以△DAP为等腰三角形所以∠DAP=∠DPA=80°所以∠BAP=30°2、在△ABC中,∠ABC=30°,∠ACB=20°,P为三角形内一点,∠PAB=30°,∠PCB=10°,求∠PBC的度数.
辅助线:以AB为边向下作等边△ADB。
由等边三角形ABD和∠ABC=30°得到∠CBD=30°,从而△ABC≌△DBC所以∠DCB=∠ACB=20°所以∠PCD=∠PAD=30°(对应弦PD)
所以A、P、D、C四点共圆
所以∠PDA=∠ACP=10°(对应弦AP)我们容易证得△ABP≌△ADP所以∠PDA=∠PBA=10°所以∠PBC=20°3、在△ABC中,∠ABC=30°,∠ACB=20°,P为三角形内一点,∠PAB=30°,∠PBA=10°,求∠PCB的度数.
辅助线:以BP为边向左作等边△PDB。
①∠PAB=30°,∠PDB=60°,A、B、P三点共圆,圆心为D;②DB=DA,则∠DBA=∠DAB=50°,则D、A、C三点共线;③DB=DA=DP,三角形DAP为等腰三角形,所以∠ADP=20°,∠CDB=∠CBD=80°④易证∠CDP≌∠CBP,所以∠DCP=∠BCP=10°
后语:关于辅助线的构造,一方面可以构造等边三角形,但是以哪条边往哪个方向作等边三角形,需要大家思考积累经验;二方面也可以用对称的性质构造辅助线;
高中化学——高三基础训练1100题(含解析),总汇成46专题 548页
高中化学最怕就是基础没有掌握好!如果基础没有吃透,就很难针对这些基础进行提分。而且高考向来80%的题目都是以基础为主,所以抓好基础复习尤为关键!复习基础主要两个方面:一、多翻翻书本将课本里的基础知识点一定要吃透了,并且能举一反三,有些必然要记就必须要记熟了。二、要多刷题特别是一些典型题,没有刷题就不知道怎么考的题型,也不知道考向在哪,只有不断的在刷题中才能认清自己的基础掌握情况!诺哈网2023-07-30 16:26:020000【遇语文原创】二元关系“质疑与自省”主题作文学生佳作
一、原题呈现阅读下面的材料,根据要求写作。(60分)材料一:《狂人日记》中,鲁迅借狂人之口发出了怒吼:“从来如此,便对么?”材料二:意大利杰出的绘画大师莫迪里阿尼创作的肖像画里,许多成年人的肖像只有一只眼睛露出来。别人问他是何用意,他说:“因为我用一只眼睛观察周围的世界,用另一只眼睛审视自己。”读了以上两则材料,你有怎样的思考?请写一篇文章,谈谈你的看法。诺哈网2023-08-05 14:47:150000英语启蒙:中高考英语口试人机对话,未雨绸缪从孩子抓起
01高考英语口试2017年1月8-9日,上海高三学生迎来新高考制度下的首次外语考试。外语考试一年两考,包括笔试和听说测试;高中生最多参加两次外语考试,可选择其中较好的一次成绩计入高考总分。口语测试,时间为20分钟,口语测试成绩分合格、不合格两类;“合格”成绩再分A、B、C、D四个等级。部分与外语关系密切的高校专业对外语口试有所要求,学生可自行报名参加。诺哈网2023-08-14 08:05:150000已知三角形三点坐标求面积#高中数学 #向量共线
诺哈网2023-08-21 17:01:480000